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《选修11:导数的应用:单调性与极值、最值》教案.doc 24页

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适用学科 高中数学 适用年级 高二 适用区域 苏教版区域 课时时长(分钟) 2课时 知识点 1.函数的单调性与极值; 2.函数中含参数的单调性与极值。 教学目标 1. 能利用导数研究函数的单调性,会用导数法求函数的单调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 3. 会用导数求函数的极大值和极小值 教学重点 利用导数研究函数的单调性;函数极值的概念与求法 教学难点 用导数求函数单调区间的步骤;函数极值的求法 【知识导图】 教学过程 教学过程 一、导入 一、导入 【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状态。 导入的方法很多,仅举两种方法: 情境导入,比如讲一个和本讲内容有关的生活现象; 温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生建立知识网络。 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 二、知识讲解 二、知识讲解 考点1 导函数判断函数的单调性 考点1 导函数判断函数的单调性 用导数求函数单调性的步骤: 明确函数的定义域,并求函数的导函数; 若导函数时,并求对应的解集; 列表,确定函数的单调性; 下结论,写出函数的单调递增区间和单调递减区间。 注意:导函数看正负,原函数看增减。 考点2 考点2 极值 用导数求函数极值的步骤: (1)明确函数的定义域,并求函数的导函数; 求方程的根; 检验在方程的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值,这个根叫做函数的极大值点;如果在根的右侧附近为正,左侧附近为负,那么函数在这个根处取得极小值,这个根叫做函数的极小值点。 注意:函数的极值不一定是一个,有的题可能是多个,需要灵活掌握。 考点3 最值 考点3 最值 函数的最大值和最小值 (1)设是定义在区间上的函数,且在内可导,求函数在上的最大值与最小值,可分两步进行: ①求在内的极值; ②将在各极值点的极值与、比较,来确定函数的最大值和最小值。 若函数在上单调增加,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数在上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值。 注意:有时极大(小)值也是最大(小)值,有时不一定,需要具体问题具体分析。 三 、例题精析 三 、例题精析 类型一 求函数的单调区间 例题1 例题1 求曲线的单调递增区间 。 【解析】根据题意 , ∴, + 0 - 0 + 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以,函数的单增区间为。 【总结与反思】 本题就是单纯的考查函数的单调性,按上面的方法求导来确定函数的递增区间,属于简单题。 例题2 例题2 求下列函数的单调区间: (1) ; (2) ; 【解析】(1)f(x)的定义域是R,且f '(x)=3x2-3, 令f '(x)=0,得x1=-1,x2=1.列表分析如下: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) (x) + 0 - 0 + f(x) ↗ ↘ ↗ 所以函数f(x)的减区间是(-1,1),增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). (2)f(x)的定义域是(0,+∞),且, 令f′(x)=0,得.列表分析如下: x (x) - 0 + f(x) ↘ ↗ 所以函数f(x)的减区间是,增区间是. 【总结与反思】 在利用导数判断函数单调性时,首先要知道f(x)的定义域;其次能够正确求解出函数的导数;最后利用表格法找到函数的增减区间即单调性。 类型二 利用导数研究函数的极值 例题1 例题1 求曲线的极值 。 【解析】根据题意,由解得,该函数在上单增,在上单减,当;,所以曲线的极大值为1;极小值为-3。 【总结与反思】本题考查函数的极值,完全按照求函数极值的思路来解就可以,属于简单题。 例题2 例题2 求函数的极值 【解析】y′=x2-4=(x+2)(x-2),令y′=0,解得x1=-2,x2=2. 列表分析如下: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) y' + 0 - 0 + y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x=-2时,y有极大值;当x=2时,y有极小值 【总结与反思】 正确求解函数的导数,利用列表分析法清晰的写出函数的单调性以及极值情况。要注意的是一个函数的极大值或极小值不一定只有一个。 类型三 利用导数研究函数的最值 例题1 例题1 求曲线在上的值域

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